Tulisan Pertemuan 4 Ilmu Alamiah Dasar dan Matematika

Tulisan Pertemuan 4

1.      Relasi

A.    Pengertian Mengenai Relasi

Relasi yaitu hubungan antara anggota pada suatu himpunan dengan anggota himpunan yang lainnya. Relasi dari himpunan A ke himpunan B ialah menghubungkan anggota-anggota himpunan A pada anggota-anggota himpunan B.

B.     Sifat Relasi

Sifat-sifat relasi, yaitu:

a.       Reflektif

b.      Ireflektif

c.       Simetrik

d.      Anti-Simetrik

e.       Transitif

C.    Contoh Penyajian Matriks Relasi dan Diagram Panah

Relasi yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan lainnya dapat disajikan dalam beberapa cara, yaitu diagram panah, diagram kartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

Contoh:

Perhatikan uraian berikut ini!

Taehyung, Jungkook, Seok Jin, dan Jimin sedang berbincang-bincang di sebuah lapangan basket belakang sekolah. Mereka sedang membicarakan olahraga dengan kegemarannya masing-masing.

Taehyung suka bermain game, Jungkook suka menyanyi, Seok Jin suka memasak dan Jimin suka menari. Misalkan himpunan P = {Taehyung, Jungkook, Seok Jin, Jimin} dan Q = {Game, Nyanyi, Masak, Tari}. Kata “suka” adalah relasi yang menghubungkan himpunan P dan himpunan Q.

Maka relasi tersebut dapat disajikan dalam bentuk berikut ini.

-          Diagram Panah

Anggota- anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “suka”. Hal tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut diagram panah.

-          Diagram Kartesius

Merupakan diagram yang terdiri atas sumbu X dan sumbu Y. Pada diagram kartesius, anggota himpunan P terletak pada sumbu mendatar (sumbu-X), sedangkan anggota himpunan Q terletak pada sumbu tegak (sumbu-Y)

Relasi yang menghubungkan himpunan P dan Q ditunjukkan dengan noktah atau titik seperti terlihat pada gambar berikut.

-          Himpunan Pasangan Berurutan

Sebuah relasi yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan lainnya dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan.

Adapun cara penyelesaiannya adalah anggota himpunan P ditulis pertama, sedangkan anggota himpunan Q menjadi pasangannya.

Contoh:

Berdasarkan relasi sebelumnya, yaitu sebagai berikut. {Taehyung, Game}, {Jungkook, Nyanyi}, {Seok Jin, Masak}, {Jimin, Tari}.

D.    Contoh Soal dan Penyelesaiannya ( 1 aja)

Contoh Soal: UN Matematika Tahun 2006

Perhatikan relasi berikut!

(i)                 {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a)}

(ii)               {(2, b), (3, c), (4, d), (2, e)}

(iii)             {(3, 6), (4, 6), (5, 10), (3, 12)}

(iv)             {(1, 5), (3, 7), (5, 9), (3, 11)}

Relasi di atas yang merupakan pemetaan adalah …

A.    (i)

B.     (ii)

C.     (iii)

D.    (iv)

Penyelesaian:

Salah satu syarat pemetaan adalah anggota dari daerah asal hanya dapat dipasangkan satu kali. Dalam pasangan himpunan terurut, daerah asal berada pada urutan pertama. Sekarang, mari kita analisis himpunan pasangan yang diberikan.

Himpunan pasangan (i) merupakan pemetaan karena setiap daerah domain (daerah asal) hanya satu kali dipasangkan.

Himpunan pasangan (ii) BUKAN merupakan pemetaan karena ada daerah domain yang dipasangkan dua kali, yiatu 2 dengan b dan 2 dengan e.

Himpunan pasangan (iii) BUKAN merupakan pemetaan karena ada daerah domain yang dipasangkan dua kali, yaitu 3 dengan 6 dan 3 dengan 12.

Himpunan pasangan (iv) BUKAN merupakan pemetaan karena ada daerah domain yang dipasangkan dua kali, yaitu 2 dengan 4 dan 2 dengan 8.

Jadi, pasangan pemetaan adalah (i).

Jawaban: A.

2.      Fungsi

A.    Definisi Fungsi

Fungsi atau yang sering disebut juga dengan pemetaan masih termasuk dalam relasi. Suatu relasi disebut fungsi jika semua anggota himpunan daerah asal dipasangkan tepat satu ke daerah kawannya.

Simbol fungsi yang memetakan himpunan A ke B adalah

f: A → B

B.     Domain, Kodomain, Range

-          Domain

Domain adalah daerah asal. Untuk menentukan daerah asal biasanya terletak di sebelah kiri. (Pada diagram panah)

-          Kodomain

Kodomain adalah daerah kawan. Biasanya diletakkan bersebrangan dengan domain yaitu di sebelah kanan. (Pada diagram panah).

-          Range

Setiap anggota dari kodomain yang mempunyai pasangan dari daerah domain yang mempunyai pasangan di daerah domain adalah range.

C.    Beri Contoh dan Penyelesaiannya

-          Contoh soal 1:

Diketahui himpuna A = {2,3,4} dan himpunan B = {1,2,3,4,5,6,7}. Suatu fungsi  f : A → B ditentukan oleh  f (x) = 2x – 2.

a.       Tentukan range fungsi  f.

b.      Gambarlah fungsi  f dengan diagram panah.

Penyelesaian:

a.       f (x) = 2 . 2 – 2 = 2

f (x) = 2 . 3 – 2 = 4

f (x) = 2 . 4 – 2 = 6

Jadi, range fungsi  f adalah {2,4,6}

b.      Fungsi f dalam diagram panah

3.      Proposisi

Didalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika (, , ~) Hanya kalimat yang bernilai benar (B) atau salah (S) saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi.

Secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r dan sebagainya.

Kita dapat mengkombinasikan satu atau lebih proposisi untuk membentuk proposisi baru. Operator yang dapat digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and), atau (or), dan tidak (not).

A.    Konsep dan Notasi Dasar

Ada 5 konsep dalam proposisi, yaitu:

-          Negasi atau ingkaran

Dari sebuah pernyataan, kita dapat membuat pernyataan baru berupa ingkaran/ negasi/ penyangkalan” atas pernyataan tadi. Berikut formula/ rumus negasi.

P	~p
B	S
S	B

Tabel 1.1 Negasi

B: pernyataan bernilai benar

S: pernyataan bernilai salah

-          Konjungsi

 Adalah proposisi majemuk dengan kata hubung “dan”. Sehingga, notasi “p  q” dibaca “p dan q”. Berikut formula/ rumus konjungsi.

p	q	p  q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Tabel 1.2 Konjungsi

-          Disjungsi

Adalah proposisi dengan kata hubung “atau”. Sehingga notasi “p  q” dibaca “p atau q”

p	q	p  q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Tabel 1.3 Disjungsi

-          Implikasi

Implikasi adalah proposisi dengan kata hubung “jika…maka…”. Sehingga notasi dari “p  q” dibaca “jika p, maka q”. Berikut formula/ rumus implikasi.

p	q	p  q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Tabel 1.4 Implikasi

-Biimplikasi

Biimplikasi adalah penyataan majemuk dengan kata hubung “….jika dan hanya jika”. Sehingga, notasi dari “p  q” akan dibaca “p jika dan hanya jika q”.

p	q	p  q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Tabel 1.5 Biimplikasi

B.     Contoh Proposisi

Contoh 1.1 Negasi

PROPOSISI	INGKARAN
Hari ini adalah hari Jumat	Hari ini adalah bukan hari Jumat
3 adalah bilangan ganjil	3 adalah bukan bilangan genap
10 lebih dari 9	10 kurang dari 9

Contoh 1.2 Konjungsi

P	q	p  q
Hari ini Sabtu	Hari ini libur	Hari ini Sabtu dan libur
Bumi hanya satu	Bumi berpenghuni	Bumi hanya satu dan berpenghuni

Contoh 1.3 Disjungsi

P	q	p  q
Dia boleh makan kue	Dia boleh makan roti	Dia boleh makan kue atau roti

Contoh 1.4  Implikasi

P	q	p  q
Jungkook mendapatkan nilai UTBK 990	Jungkook dapat memasuki universitas mana saja	Jika Jungkook mendapatkan nilai UTBK 990, maka Jungkook dapat memasuki universitas mana saja.

Contoh 1.5 Biimplikasi

p	q	p  q
30 x 5 = 150	150 adalah bilangan genap	30 x 5 = 150 jika dan hanya jika 150 adalah bilangan genap.

C.    Berikan Contoh Soal Proposisi dan Penyelesaiannya

-          Soal satu

Tentukan nilai kebenaran dari proposisi berikut:

Jika 2^2 = 4 maka 2^4 = 4^2”

Pembahasan:

Proposisi tersebut dapat dilambangkan dengan p  q. Karena proposisi p dan proposisi q bernilai benar, maka dari table kebenaran proposisi bersyarat baris ke 4 (lihat pada table berikut ini:

p	q	p  q
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Dari table diatas dapat disimpulkan bahwa p  q bernilai benar.

-          Soal dua

Tentuka negasi (ingkaran) dari pernyataan-pernyataan berikut ini:

a.       p : Semua dokter memakai  baju putih saat bekerja

b.      p : Semua jenis hewan berkembang biak dengan cara ovovivar

c.       p : Semua anak kelas 1PA19 pandai berbahasa inggris

Pembahasan:

Penyataan yang memuat kata “Semua” atau “Setiap” negasinya memuat kata “Beberapa”, “Sebagian” atau “Ada”.

a.       ~p :Ada dokter tidak memakai baju putih saat bekerja

b.      ~p :Beberapa jenis hewan tidak berkembang biak dengan cara ovovivar

c.       ~p :Sebagian anak kelas 1PA19 tidak pandai berbahasa inggris 

REFERENSI:

https://matematikastudycenter.com/kelas-10-sma/93-10-sma-soal-pembahasan-logika-matematika

http://jadijuara.com/contoh-soal-fungsi/

https://rumusrumus.com/relasi-matematika/

http://www.catatanrobert.com/logika-proposisi/